Image d’un connexe par une application continue

Image d’un connexe par une application continue est un connexe ?:

J’ai remarqué une erreur dans cette démonstration. L’erreur est au début : «  Si f(E) n’est pas connexe, il s’écrit comme réunion disjointe de deux ouverts non vides », or de façon suffisante, f(E) est alors ouvert ; Or l’image d’un ouvert par une application continue n’est pas forcément un ouvert. Et après l’auteur décompose f(E) en deux ouverts disjoints, ce qui n’est pas donc toujours possibles. Il y a d’autres erreurs du même genre.

Dans le livre de Laurent Schwartz sur la topologie générale, il est fait aussi le même genre d’erreur au début de la démonstration, (page 116).

Connaissez-vous une démonstration valide ?