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On se place dans l’ensemble des matrices carrées Mn(IR).

D’après la théorie du rang, pour toute matrice de rang r, A et B, il existe deux matrices inversibles P et Q telles que :

A=P^-1BQ (E). Cette théorie montre que toute matrice de même rang représente la même application linéaire dans des bases de départ et d’arrivée différentes. Ainsi une rotation est la même application qu’une symétrie ! (cas n=2 ou 3).

Je pense qu’elle représente la même application si on change de la même manière les bases de départ et les bases d’arrivée, le calcul du paragraphe précédent est en fait sans signification « géométrique ».

L’orbite  d’une matrice B sous l’action de (E), P et Q décrivant GLn(IR) est l’ensemble des matrices de même rang que B.

Connaissez-vous l’orbite d’une matrice B de Mn(IR) sous l’action de groupe : P^-1B P décrivant Gln(IR) ?

Image d’un connexe par une application continue est un connexe ?:

J’ai remarqué une erreur dans cette démonstration. L’erreur est au début : «  Si f(E) n’est pas connexe, il s’écrit comme réunion disjointe de deux ouverts non vides », or de façon suffisante, f(E) est alors ouvert ; Or l’image d’un ouvert par une application continue n’est pas forcément un ouvert. Et après l’auteur décompose f(E) en deux ouverts disjoints, ce qui n’est pas donc toujours possibles. Il y a d’autres erreurs du même genre.

Dans le livre de Laurent Schwartz sur la topologie générale, il est fait aussi le même genre d’erreur au début de la démonstration, (page 116).

Connaissez-vous une démonstration valide ?